[2015년 운정고]

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[2학년 1학기 중간 미적분1]

두 수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: left{b_n right}]에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [3.7점]

②

ㄱ. [eqn: lim_{n->inf} {a_n b_n} =0]이면 [eqn: lim_{n->inf}{a_n} =0]또는 [eqn: lim_{n->inf}{b_n} =0]이다.

ㄴ. 수열 [eqn: left{a_n+2015 right}]가 수렴하면 수열 [eqn: left{a_n right}]은

수렴한다.

ㄷ. 두 수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: left{ a_n - b_n right}]이 같은 값으로 수렴하면

수열 [eqn: left{ b_n over a_n right}]은 [eqn: 0]으로 수렴한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하자. 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: n<S_n < n + 1overn]일 때, [eqn: lim_{n->inf}{a_n}]의 값은? [3.8점]

④

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

첫째항이 [eqn: 0]이 아닌 등비수열 [eqn: left{ x left( x-1 over 2 right)^n right}]이 수렴하도록 하는 정수 [eqn: x]의 개수는? [3.6점]

③

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

수열 [eqn: left{a_n right}]의 일반항이 [eqn: a_n = 2overn(n+1)]일 때, [eqn: sum _n=1 ^inf a_n]의 값은? [3.3점]

②

① [eqn: 3over2]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 5over2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 7over2]

수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 급수 [eqn: sum_n=1 ^inf a_n]이 수렴할 때, 보기에서 수렴하는 급수만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a_n != 0]) [3.5점]

③

ㄱ. [eqn: sum_n=1 ^inf 1overa_n]	ㄴ. [eqn: sum _n=1 ^inf a_2n]

ㄷ. [eqn: sum_n=1 ^inf (a_n - a_n+1 )]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: sum_n=1 ^inf a^n = 3]일 때, 등비급수 [eqn: a-a^2 +a^3 - a^4 + ...]의 값은? [3.7점]

④

① [eqn: - 3over7]	② [eqn: - 1over7]	③ [eqn: 1over7]

④ [eqn: 3over7]	⑤ [eqn: 5over7]

그림과 같이 [eqn: y]축 위의 점 [eqn: (0,```4)]와 곡선 [eqn: y=x^2] 위의 점 [eqn: {rmP}(t,```t ^{2} )] [eqn: (0<t<2)]를 지나는 직선을 [eqn: l]이라 할 때, 직선 [eqn: l]이 곡선 [eqn: y=x^2]과 만나는 점 중 [eqn: rmP]가 아닌 점을 [eqn: rmQ]라 하고, 직선 [eqn: l]이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmR]라 하자. 두 점 [eqn: rmQ], [eqn: rmR]의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: f(t)], [eqn: g(t)]라 할 때, [eqn: lim _{t->0+} {f(t)g(t)}]의 값은? [4.0점]

①

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: lim_{x->-2} {f(x+2)over{x^2 +x-2} } =4]일 때, [eqn: lim_{x->0} { {xf(x) -f(x)}over{2x^2 - 3x} }]의 값은? [3.7점]

①

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 두 삼차함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: lim_{x->0} { f(x)+g(x) over x }]의 값은? (단, [eqn: f(2) < 4]이다.) [3.8점]

(가) 두 삼차식 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]는 모두 [eqn: x^2 -x]로

나누어떨어진다.

(나) [eqn: lim_{x->0} { f(x)g(x) overx^2 } =2]

(다) [eqn: lim_{x->inf} {f(x)-g(x) overx^2 } =1]

⑤

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

[eqn: |x |<1]일 때, 부등식 [eqn: x^2 over{x^2 -1} le f(x) le x^2 over{x^2 +1}]을 만족시키는 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: lim _{x -> 0} {`2f(x)+1}]의 값은? [3.6점]

④

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같을 때, 열린구간 [eqn: (-2,```2)]에서 극한값이 존재하지 않는 점의 개수를 [eqn: m], 불연속인 점의 개수를 [eqn: n]이라고 하자. 이때 [eqn: m+n]의 값은? [3.6점]

③

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]의 그래프가 그림과 같고
[eqn: lim_{x-> 1- } {f(g(x)) } =a], [eqn: lim_{x->1+} {f(g(x)) }=b], [eqn: lim_{x->-1+} { g(f(x))} =c]
일 때, [eqn: a+b+c]의 값은? [4.0점]

①

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

모든 실수 [eqn: x]에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.0점]

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+3) = f(x)]

(나) [eqn: -2 le x le 1]일 때,

[eqn: f(x) = cases{ ax+b & (-2 le x le -1) # x + |x | &(-1 < x le 1)]

③

ㄱ. 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=2]에서 연속이다.

ㄴ. [eqn: lim _{x->a} { f(x)} = -2]

ㄷ. [eqn: f left( 13over3 right) = 4over3]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 삼차함수 [eqn: f(x) = x^3 + 2ax^2 + bx +c]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: f` prime (1)=2]일 때, [eqn: f(-1)]의 값은? [3.6점]

(가) 그래프가 점 [eqn: (1,```1)]을 지난다.

(나) [eqn: x=2]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 3]이다.

②

① [eqn: -30]	② [eqn: -15]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 30]

이차함수 [eqn: f(x) = x^2 -ax +b]가 임의의 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: (x+1)f` prime (x)-2f(x)=6]을 만족시킬 때, [eqn: f(2)]의 값은? [3.7점]

⑤

① [eqn: -2]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 6]

미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(-x)=-f(x)]를 만족시키고
[eqn: f` prime (1)=2]일 때, [eqn: lim_{x->-1} {{ f(x)-f(-1)} over {x^2 -1} } - lim_{x->1} { {f(x) -f(1)} over {x^2 -1 } }]의 값은? [3.8점]

②

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

서술형

수열 [eqn: left{a_n right}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: -8 < a_n le 0]을 만족시킬 때, 다음 극한값을 구하는 과정과 정답을 서술하시오. [10.0점]

[eqn: 1]

[eqn: lim_{n->inf} { left{ log_2 (2n^2 + a_n n +8)- 2log_2 (n-a_n ) right}]

반지름의 길이가 [eqn: root5]인 원에 가로, 세로의 길이의 비가 [eqn: 2:1]인 직사각형 [eqn: rmA _{1} B _{1} C _{1} D _{1}]을 내접시키고 선분 [eqn: rmB _{1} D _{1}]을 그었을 때, 직각삼각형 [eqn: rmA _{1} B _{1} D _{1}]의 넓이를 [eqn: S_1]이라 하자. 다시 직각삼각형 [eqn: rmB _{1} C _{1} D _{1}]에 내접하는 원에 가로, 세로의 길이의 비가 [eqn: 2:1]인 직사각형 [eqn: rmA _{2} B _{2} C _{2} D _{2}]를 내접시키고 선분 [eqn: rmB _{2} D _{2}]를 그었을 때, 직각삼각형 [eqn: rmA _{2} B _{2} D _{2}]의 넓이를 [eqn: S_2]라 하자. 이와 같은 과정을 계속 반복하여 직각삼각형 [eqn: {rmA} _{n}{rm B} _{n}{rm D} _{n}]의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때,
[eqn: sum _n=1 ^inf S_n = {p+q root5}over33]
이다. 이때, [eqn: p-q]의 값을 구하는 과정과 정답을 서술하시오. (단, [eqn: p], [eqn: q]는 유리수이다.) [10.0점]

[eqn: 20]

좌표평면에서 중심이 [eqn: (0,```0)]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원을 [eqn: C_1]이라 하고, 실수 [eqn: a]에 대하여 중심이 [eqn: (a,```0)]이고 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 원을 [eqn: C_2]라고 하자. 원 [eqn: C_1]과 [eqn: C_2]의 교점의 개수를 [eqn: f(a)]라고 할 때, 함수 [eqn: f(a)]의 그래프를 그리고 연속성을 조사하여 서술하시오. [10.0점]

[eqn: {cases{0&(a< -3 ```or```-1<a<1```or```3<a)#1&(a=-3```or```a=-1```or```a=1```or```a=3)#2&(-3<a< -1```or```1<a<3)}}]

자연수 [eqn: n]에 대하여 함수
[eqn: f(x) = lim_{n->inf} { {x^n+1 +a |x |^3 +b} over {x^n +1} }```(x != -1)]
가 [eqn: x=1]에서 미분 가능할 때, [eqn: x=1]에서의 미분계수를 구하고, 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 차 [eqn: a-b]를 구하는 과정을 서술하시오. [10.0점]

[eqn: a=-3,```-1,```1,```3]에서 불연속

[eqn: - 1over3]

[2015년 운정고]

[2학년 1학기 중간 미적분1]

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